3-1

Eq.(2)の固有ベクトルを求めこの行列を対角化するユニタリー行列$U$とその逆行列$U^{-1}$を求めよ。

3-1解答

$$\begin{pmatrix} 1 & -\cos\delta \\ ... ...ta\right) \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}, \quad \therefore\, Y = \mp X$$

より、

   固有値$$:\,\left(1+\cos\delta\right),$$固有ベクトル$$:\,\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix};$$   固有値$$:\,\left(1-\cos\delta\right),$$固有ベクトル$$:\,\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

となるので、

$$U=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix... ... \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \quad \left[ UU^{-1}=E \right]$$ (3)

を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp