4-1

$\rho=0,\vj=0$の電荷も電流も存在しない真空中でのMaxwell方程式から、次の二つの式を導け。

$$\Nabla^2 \vE\rt -\frac{1}{c^2}\dell{\vE\rt}{t} = 0$$ (5)

$$\Nabla^2 \vB\rt -\frac{1}{c^2}\dell{\vB\rt}{t} = 0$$ (6)

4-1解答

$\rho=0,\vj=0$のとき、Maxwell方程式は、

$$\Nabla \cdot \vE\rt = 0, \quad \Nabla \cdot \vB\rt =0 , \quad \N... ...1}{c}\del{\vB\rt}{t} , \quad \Nabla \times \vB\rt = \frac{1}{c}\del{\vE\rt}{t}$$

と書ける。Rotationを含む項に左から $\Nabla \times$を作用させると、

$$\Nabla \times \left( \Nabla\times \vE\rt\right) =\Nabla\left(\Nabla\cdot \vE\rt\right) -\Nabla^2 \vE\rt = -\Nabla^2 \vE\rt$$

$$=-\frac{1}{c}\deL{t}\left( \Nabla\times \vB\rt \right) = -\frac{1}{c^2} \dell{\vE\rt}{t}\,;\qquad \therefore\,$$

$$\Nabla \times \left( \Nabla\times \vB\rt\right) =\Nabla\left(\Nabla\cdot \vB\rt\right) -\Nabla^2 \vB\rt = -\Nabla^2 \vB\rt$$

$$=\frac{1}{c}\deL{t}\left( \Nabla\times \vE\rt \right) = -\frac{1}{c^2} \dell{\vB\rt}{t}\,;\qquad \therefore\,$$

となり確かに導けた。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp