1-1

Lorentz gaugeには、

$$\Nabla^2 \chi(\vr) = 0$$ (1)

を満たす、時間に依らない関数$\chi(\vr)$を用いて、

$${\bf {A'}}\rt = \vA\rt +\Nabla \chi (\vr)$$ (2)

なるgauge変換の自由度が残されていることを証明せよ。

1-1解答

Lorentz gaugeは、

$$\Nabla\cdot \vA \rt +\frac{1}{c}\del{\phi\rt}{t} = 0$$ (3)

を満たす。これにEq.(2)を代入すると、

$$\Nabla \cdot \left[ \vA'\rt -\Nabla \chi (\vr) \right] + \frac{1}... ...c{1}{c}\del{\phi\rt}{t} =\Nabla \cdot \vA'\rt +\frac{1}{c}\del{\phi'\rt}{t} =0$$

$$\because)$$   Eq.(1) and $$\,\del{\chi(\vr)}{t}=0\,; \left[ \phi'\rt=\phi\rt-\frac{1}{c}\del{\chi(\vr)}{t} = \phi\rt \right]$$

であるから、Eq.(2)なるgauge変換の自由度が残されていることが分かる。

Lorentz gaugeに於けるベクトルポテンシャルは、

$$\Nabla^2 \vA\rt -\frac{1}{c^2} \dell{\vA\rt}{t} = -\frac{4\pi}{c}\vj$$ (4)

を満たす。Eq.(2)をEq.(4)に代入すると、

$$\Nabla^2 \left( \vA'\rt -\Nabla \chi (\vr)\right) -\frac{1}{c^2} ... ...Nabla^2 \chi (\vr) -\frac{1}{c^2} \dell{\chi(\vr)}{t}\right)=-\frac{4\pi}{c}\vj$$

$$\hspace{28mm} \Longrightarrow \quad \... ...}\rt -\frac{1}{c^2}\dell{{\bf {A'}}\rt}{t} = -\frac{4\pi}{c}\vj \quad \because) \,\del{\chi(\vr)}{t}=0$$

となり、 ${\bf {A'}}$もEq.(4)を満足する。 よってLorentz gaugeに於ける電磁ポテンシャルにはEq.(2)なる自由度が許されていることが分かる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp