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1-1

Lorentz gaugeには、

$\displaystyle \Nabla^2 \chi(\vr) = 0$ (1)

を満たす、時間に依らない関数$ \chi(\vr)$を用いて、

$\displaystyle {\bf {A'}}\rt = \vA\rt +\Nabla \chi (\vr)$ (2)

なるgauge変換の自由度が残されていることを証明せよ。

1-1解答

Lorentz gaugeは、

$\displaystyle \Nabla\cdot \vA \rt +\frac{1}{c}\del{\phi\rt}{t} = 0$ (3)

を満たす。これにEq.(2)を代入すると、

$\displaystyle \Nabla \cdot
\left[
\vA'\rt -\Nabla \chi (\vr)
\right] + \frac{1}...
...c{1}{c}\del{\phi\rt}{t}
=\Nabla \cdot \vA'\rt +\frac{1}{c}\del{\phi'\rt}{t}
=0
$

$\displaystyle \because)$   Eq.(1) and $\displaystyle \,\del{\chi(\vr)}{t}=0\,;
\left[
\phi'\rt=\phi\rt-\frac{1}{c}\del{\chi(\vr)}{t} = \phi\rt
\right]
$

であるから、Eq.(2)なるgauge変換の自由度が残されていることが分かる。

Lorentz gaugeに於けるベクトルポテンシャルは、

$\displaystyle \Nabla^2 \vA\rt -\frac{1}{c^2} \dell{\vA\rt}{t} = -\frac{4\pi}{c}\vj$ (4)

を満たす。Eq.(2)をEq.(4)に代入すると、

  $\displaystyle \Nabla^2 \left( \vA'\rt -\Nabla \chi (\vr)\right) -\frac{1}{c^2} ...
...Nabla^2 \chi (\vr) -\frac{1}{c^2} \dell{\chi(\vr)}{t}\right)=-\frac{4\pi}{c}\vj$    
  % latex2html id marker 2643
$\displaystyle \hspace{28mm} \Longrightarrow \quad \...
...}\rt -\frac{1}{c^2}\dell{{\bf {A'}}\rt}{t} = -\frac{4\pi}{c}\vj \quad \because)$   Eq.(1) and $\displaystyle \,\del{\chi(\vr)}{t}=0$    

となり、 $ {\bf {A'}}$もEq.(4)を満足する。 よってLorentz gaugeに於ける電磁ポテンシャルにはEq.(2)なる自由度が許されていることが分かる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp