6-1

観測者が光りを受け取るとき時間間隔$dt$が

$$dt = \left[ 1-\frac{1}{c} \vn\cdot \vu\right]dt'$$ (30)

であることを示せ。 ここで物体は十分遠方にあり、 微小時間$dt'$間の物体の運動による$\vn$の変化は無視できるとせよ。

6-1解答

図 4: 物体と観測者との位置関係

図を参考に考える。 点Pで発せられた光りを観測者Oが観測する時刻を$t_1$とすると、

$$t_1 = t' + \frac{\vert{\rm OP}\vert}{c}$$

と書け、点P'で発せられた光りを観測者Oが観測する時刻を$t_2$とすると、

$$t_2 = t' +dt' +\frac{\vert{\rm OP'}\vert}{c} =t' +dt' +\frac{\ver... ...rt{\rm QP}\vert}{c} =t' + dt' +\frac{\vert{\rm OP}\vert - \vn\cdot \vu dt'}{c}$$

と書ける。 よって観測者がこれらの光りを受け取る時間間隔$dt$は

$$dt = t_2-t_1 = \left[ 1-\frac{1}{c}\vn\cdot \vu\right]dt$$

と求まり、確かにEq.(30)と一致する。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp