5-a)

Green関数、デルタ関数のFourier積分表示はそれぞれ、

$$G\rt = \Int d\omega \Int d^3\vk \, \hat{G}\ko e^{-i\omega t +i\vk \cdot \vr}$$ (24)

$$\delta^3(\vr) \delta(t) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^4} \Int d\omega \Int d^3\vk\, e^{-i\omega t +i\vk \cdot \vr}$$ (25)

である。これらを方程式に代入して

$$\hat{G}\ko = -\frac{c^2}{\left(2\pi\right)^4} \frac{1}{\omega^2 -c^2 k^2}$$ (26)

であることを示せ。但し、 $k\equiv \vert\vk\vert$で波数ベクトルの大きさである。

5-a)解答

実際に代入する。

$$\left(\text{LHS}\right) = \dal G\rt =\Int d\omega \Int d^3\vk \, \left(\Nabla^2-\frac{1}{c^2}\deLL{t}\right)\left( \hat{G}\ko e^{-i\omega t +i\vk \cdot \vr}\right)$$

$$=\Int d\omega \Int d^3\vk \, \left( \left( +i \vk\right)^2 -\frac... ...a\right)^2}{c^2} \right)\left( \hat{G}\ko e^{-i\omega t +i\vk \cdot \vr}\right)$$

$$=\frac{\omega^2 -c^2k^2}{c^2}\Int d\omega \Int d^3\vk \,\hat{G}\ko e^{-i\omega t +i\vk \cdot \vr}$$

$$\left(\text{RHS}\right) = - \delta^3(\vr) \delta(t) = -\frac{1}{\left(2\pi\right)^4} \Int d\omega \Int d^3\vk\, e^{-i\omega t +i\vk \cdot \vr}$$

両辺を比較すると

$$\therefore\, \hat{G}\ko = -\frac{c^2}{\left(2\pi\right)^4} \frac{1}{\omega^2 -c^2 k^2}$$

を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp