4-1

次の方程式

$$\dal G\rt = -\delta^3(\vr) \delta(t)$$ (18)

を満たす関数$G$をGreen関数と呼ぶ。 このGreen関数を用いて$\phi\rt$が次のように表せることを示せ。

$$\phi\rt = 4\pi \int G\left( \vr -\vr',t-t'\right)\rho_e\left(\vr,t\right)d^3\vr dt$$ (19)

4-1解答

演算子$\dal$を

$$\dal = D\left(\Nabla,\deL{t}\right)$$

と書くと、Eq.(18)は

$$D\left(\Nabla,\deL{t}\right) G(\vr,t) = -\delta^3(\vr)\delta(t)$$

と書ける。この両辺を時間、空間成分でFourier変換すると、

$$\hat{D}\left( -i\vk,i\omega\right)\ha... ...i)^4}\quad \therefore\, \frac{1}{\hat{D}(-i\vk,i\omega)} = - (2\pi)^4\hat{G}\ko$$ (20)

を得る。同様にEq.(16)の両辺も時間、空間成分でFourier変換すると、

$$\hat{\phi}\ko = -4 \pi \frac{\hat{\rho}_e \ko}{\hat{D}(-i\vk,i\omega)}$$

となるが、Eq.(20)を代入すると、

$$\hat{\phi}\ko = (4 \pi)(2\pi)^4\hat{G}\ko {\hat{\rho}_e \ko}$$ (21)

となる。 ところで、ある時間の関数$x(t),y(t)$の畳込みは

$$x*y(t) = \Int x(t)y(t-t')dt' = (2\pi)\Int \hat{x}(\omega)\hat{y}(\omega)e^{-i\omega t}d\omega$$

であることを思い出すと、Eq.(21)を逆Fourier変換してやると、右辺は畳込みの型で書け、

$$\left(\text{LHS}\right) = {\cal F}^{-1}\left[ \hat{\phi}\ko\right] = \phi\rt$$

$$\left(\text{RHS}\right) ={\cal F}^{-1}\left[ (4 \pi)(2\pi)^4\hat{G}\ko {\hat{\rho}_e \ko}... ...(2\pi)^4\hat{G}\ko {\hat{\rho}_e \ko}\right] =4\pi \left[ \rho_e * G\rt \right]$$

$$= 4\pi \int G\left( \vr -\vr',t-t'\right)\rho_e\left(\vr,t\right)d^3\vr dt$$

となり、確かに$\phi\rt$がEq.(19)を満たしている。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp