2-5

$\displaystyle \Int dx\, f(x)\delta\left(g(x)\right)$

(11)

$\displaystyle \Int dx\, f(x)\delta\left(g(x)\right)$	$\displaystyle =\Int \frac{dy}{\left\vert g'(x)\right\vert}\delta(y)f\left( g(x)\right)\,; \qquad g(x)=y,\, \di{y}{x}=g'(x),\quad y=0\,\to\,x=x_i$
	$\displaystyle =\frac{f(x_i)}{\left\vert g'(x_i)\right\vert}$

問題7を総合するとデルタ関数には以下のような性質があることが推察される。

$\displaystyle \delta(ax)$	$\displaystyle = \frac{1}{\vert a\vert}\delta(x)$	(12)
$\displaystyle \delta(x^2-a^2)$	$\displaystyle = \frac{1}{2\vert a\vert}\left\{ \delta(x+a)+\delta(x-a)\right\}$	(13)
$\displaystyle \delta\left(g(x)\right)$	$\displaystyle = \sum_{i} \frac{\delta(x-x_i)}{\left\vert g'(x_i)\right\vert}\,;\quad g(x_i)=0$	(14)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp