3-2

Gaussian Window

$$W(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\left[ -\dfrac{t^2}{2\sigma^2}\right]$$ (15)

をFourier変換し、結果を図示せよ。この結果から $\Delta \omega \Delta t$を評価せよ。

3-2解答

$$\hat{W}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \Int \frac{1}{\sqrt{2\pi}\, \sigma} \exp\left[ -... ...xp\left[ -\dfrac{1}{2\sigma^2}\left( t^2 -2 \sigma^2 i\omega t\right)\right] dt$$

$$= \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3/2} \sigma} \Int \exp\left[ -\dfra... ...\left(2\pi\right)^{1/2} \right\}\exp\left[ -\dfrac{\sigma^2 \omega^2}{2}\right]$$

$$=\frac{1}{2\pi} \exp\left[ -\dfrac{\sigma^2 \omega^2}{2}\right]$$ (16)

図 5: 左：周波数空間、右：時間空間

　　

ガウス型関数のの典型的な広がりは、周波数空間に於いて $\Delta \omega \sim 2/\sigma$、 時間空間に於いて $\Delta t \sim 2\sigma$と評価できる。 よって、

$$\Delta \omega \Delta t \sim 4$$ (17)

である。

脚注

...と評価できる

規格化されたガウス型関数の分散計算（この時、規格化されてるか否かに注意が必要）。またはこのグラフの特徴（変曲点）などから。

...

ガウス積分の公式： $\quad {\displaystyle \Int x^{2n} e^{-\lambda x^2} dx = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda^{2n+1}}}}\, ;\quad n=0,1,2,\dots$

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp