1-2

強度$B$で一様な磁場中を、上記と同じ電子が運動することで放射されるシンクロトロン放射の放射強度の平均値が

$$P_{{\rm Sync}} =\frac{4}{3} c \sigma_T \left[ U_{{\rm B}} \gamma^2 \beta^2 \right]$$ (8)

で与えられることを示せ。

1-2解答

1同様にして考える。電場が存在しない場合、相対論的な運動方程式は

$$\dI{t}\left(\gamma m_e c^2\right) = 0$$ (9)

$$\dI{t}\left(\gamma m_e \vv\right) =-\frac{e}{c} \vv\times \bm{\beta}$$ (10)

となるので、

$$\dot{\vv} = \frac{e\left(\vv\times \bm{\beta}\right)}{\gamma m_e c}$$

を得る。これより、

$$\dot{\vv}^2 = \frac{e^2B^2}{\gamma^2m_e^2}\beta^2 \left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\cos^2\phi\right)$$

$$\left\vert \dot{\vv} \times \bm{\beta}\right\vert^2 = \frac{e^2 B^2}{\gamma^2 m_e^2}\beta^4 \left( \cos^2\theta+\sin^2\theta\cos^2\phi\right)$$

であるから、Eq.(2)に代入すると、

$$P_e = 2 c \sigma_T U_B \gamma^2 \beta^2 \left( \cos^2\theta+\sin^2\theta\cos^2\phi\right) \,; \,\, U_{{\rm B}} = \frac{B^2}{8\pi}$$ (11)

となる。同様に立体角積分を実行すると

$$\int\frac{\cos^2\theta\,d\Omega}{4\pi} = \frac{1}{3} \,; \quad \int \frac{\sin^2\theta\cos^2\phi\,d\Omega}{4\pi} =\frac{1}{3}$$

より、

$$P_{{\rm Sync}} =\frac{4}{3} c \sigma_T \left[ U_{{\rm B}} \gamma^2 \beta^2 \right]$$ (12)

となり、確かにEq.(8)を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp