3-1

温度 $k_BT = 10\,\left[\text{keV}\right]$、電子個数密度 $n_e=10^{-3}\,[{\rm {cm}^{-3}}]$の電子プラズマが、半径 $1\,[{\rm Mpc}]=3\times 10^{24}\,[{\rm cm}]$の球内に一様に分布している天体を考える。 この天体が観測者から距離 $100\,[{\rm Mpc}]$離れた所に存在するとする。この時この天体から熱制動放射により放射される $1\,[{\rm keV}]$以上のエネルギーを持った光子を観測する。 $1\,[{\rm cm^{2}}]$当たり、 単位時間当たりに観測者に到達する $1\,[{\rm keV}]$以上の光子の数を求めよ。但し電子の速度分布で平均化したガウンとファクターを$1$とし、 $\int_{0.1}^{\infty}x^{-1}e^{-x}dx=1.82$を用いよ。

3-1解答

単位周波数、単位体積、単位時間当たりの熱制動放射の強度である放射率(emissivity) $\epsilon_{\nu}^{\text{\it {ff}}}$は

$$\epsilon_{\nu}^{\text{\it {ff}}} = \frac{dW(T,\nu)}{d\nu dV dt} =... ...{2\pi}{3k_B m}\right)^{1/2} T^{-1/2} n_e^2 \exp\left[-\frac{h\nu}{k_B T}\right]$$ (22)

と書ける。具体的に値を評価すると、

$$\epsilon_{\nu}^{\text{\it {ff}}} = \left[\frac{2^{11} \pi^3}{3^3}\right]^{1/2} \alpha^3 \times \le... ...{\rm keV}]}\right]^{-1/2} \left[\frac{n_e}{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]}\right]^{2}$$

$$= \left[\frac{2^{11} \pi^3}{3^3}\right]^{1/2} \alpha^3 \cdot 10^{... ...^{-23} \right]^3 \cdot \left(1.60217646\times 10^{-19}\right)^{-2} \cdot 10^{7}$$

$$\hspace{50mm} \times \left[\frac{k_B T}{10\,[{\rm keV}]}\right]^{... ...{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]}\right]^{2} \,[{\rm erg\,sec^{-1}\,Hz^{-1}\,cm^{-3}}]$$

$$=6.35102 \times 10^{-48} \left[\frac{k_B T}{10\,[{\rm keV}]}\righ... ...{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]}\right]^{2} \,[{\rm erg\,sec^{-1}\,Hz^{-1}\,cm^{-3}}]$$

$$=6.35 \times 10^{-48} \left[\frac{k_B T}{10\,[{\rm keV}]}\right]^... ...{10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}]}\right]^{2} \,[{\rm erg\,sec^{-1}\,Hz^{-1}\,cm^{-3}}]$$ (23)

となる。 $\epsilon_\nu^{\text{\it {ff}}}$は $\left(\text{光子一個のエネルギー}\right)\times \left(\text{分布関数}\right)$の様なものなので、光子の数を求めるには、$h\nu$で割ればいいことになる。 問題では $h\nu\geq 1\,[{\rm keV}]$の光子の数を聞いているので、この領域で積分を実行すると、 $n_e=10^{-3}\,[{\rm cm^{-3}}],k_B T=10\,[{\rm keV}],V=4\pi\left(1\,[{\rm Mpc}]\right)^3/3$を代入して

$$L =\di{N}{t} = \int \frac{dW}{d\nu dVdt}\frac{d\nu}{h\nu}dV =\frac{... ...t(3.0856775807\times 10^{24}\right)^3 \times \int_{0.1}^{\infty} x^{-1}e^{-x}dx$$

$$=2.14684 \times 10^{53}\,[{\rm sec^{-1}}]$$ (24)

を得る。ここでは

$$\int_{0.1}^\infty x^{-1} e^{-x}dx = 1.82$$

を、また $\bar{g}_{\text{{\it {ff}}}}\approx 1$とした。 この天体を $d=100\,[{\rm Mpc}]$の距離から観測するので、観測者が観測する単位面積、単位時間当たりの $h\nu\geq 1\,[{\rm keV}]$以上のエネルギーを持つ光子の数は、 $L=4\pi d^2 I$より、

$$I =\frac{dN}{dtdS} = \frac{L}{4\pi d^2}$$

$$=\frac{ 2.14684 \times 10^{53} }{ 4\pi \left(100\times 10^6 \cdot... ...right)^2} =0.179427\,[{\rm cm^{-2}\,sec^{-1}}] =0.18\,[{\rm cm^{-2}\,sec^{-1}}]$$ (25)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp