7-1

四元ポテンシャルを

$$A^\mu = \left( \phi, \vA\right) =\left( \phi, A^1,A^2,A^3\right)$$ (27)

で定義する。次のように定義される二回のテンソルの全ての成分を求めよ。

$$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$$ (28)

但し、メトリックは

$$\eta^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ (29)

とする。

7-1解答

$$A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu = \left( -\phi, \vA \right) =\left( -\phi, A_1,A_2,A_3 \right)\, ; \quad A^i = A_i$$ (30)

• time-time component

  $$F_{00} = \partial _0 A_0 -\partial _0 A_0 = 0$$ (31)

  
  

• time-space component

  $$F_{0i} = \partial _0 A_i -\partial _i A_0 =\del{A_i}{(ct)} + \del{\phi}{x^i} =\left( \Nabla_i \phi +\frac{1}{c}\del{A_i}{t} \right) =-E_i$$ (32)

  
  

  $$F_{i0} = \partial _i A_0 -\partial _0 A_i = -F_{0i}$$ (33)

  
  

• space-space component

  $$F_{ii} = 0$$ (34)

  
  

  $$F_{ij} = \partial _iA_j -\partial _j A_i =\left[ \Nabla \times \vA \right]_k =\epsilon_{ijk}B_k \quad i\ne j$$ (35)

  
  

$$\therefore\, F_{\mu\nu} = \begin{pmat... ... & \phantom{-}B_1 \\ -E_3 & \phantom{-}B_2 & -B_1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$$ (36)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp