9-1

真空中で静止している電子が作る自己電場の全エネルギーを求めよ。但し電子は半径$r_0$の球とし、 $0 < r \leq r_0$では電荷分布が一様で全電荷が$-e$であるとする。

9-1解答

電磁場が作る場のエネルギー密度は

$$u_{\rm field} = \frac{1}{8\pi} \left(\vE^2+\vB^2\right)$$ (57)

と書ける。今、静止している電荷を考えているの電磁場は電場だけである。電場は対称性より動径方向のみを持ち、ガウスの定理より、$r>r_0$の場合

$$4\pi r^2 E(r) = -4\pi e \quad \Longrightarrow \quad E(r)= -\frac{e}{r^2}$$ (58)

となり、 $0 < r \leq r_0$の場合

$$4\pi r^2 E(r) = 4\pi {\rho_e(r)V(r)} = 4\pi \frac{-e \dfrac{4}{3}... ... -\frac{4\pi e}{r_0^3}r^3 \quad \Longrightarrow \quad E(r) = -\frac{e}{r_0^3} r$$ (59)

を得る。

図 4: 電荷$-e$をもつ一様球の電場の概形

これより電子が作る全自己エネルギーは

$$U_{\rm field} = \int_V u_{\rm field} d^3 r =\frac{e^2}{2} \left[ \int_0^{r_0} \... ...ft[ \int_0^{r_0} \frac{r^4}{r_0^6}\,dr + \int_{r_0}^{\infty} r^{-2}\,dr \right]$$

$$=\frac{e^2}{2}\left( \left[\frac{r^5}{5r_0^6}\right]_0^{r_0} + \left[ -\frac{1}{r}\right]^\infty_{r_0}\right) =\frac{3e^2}{5r_0}$$ (60)

となる。 著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp