6-(4)

$V\to \infty$の極限を考え、無限遠方で $\phi({\bf r}\to\infty) = 0$とし、このときの電子の数密度を$n_0$とする。 このとき任意の位置$\vr$で電子の数密度が

$$n_e(\vr) = n_0 e^{\frac{e\phi(\vr)}{k_B T}}$$ (54)

で与えられることを示せ。

6-(4)解答

一般的に密度を求めには

$$n({\bf r}) = \sum_{i=1}^N \delta({\bf r}_i -{\bf r})$$ (55)

の平均値 $\overline{n({\bf r})}$を計算すればよい。 $\delta({\bf r}_i -{\bf r})$はDelta functionである。全体で電子が$N$個あるとすると、この平均値は

$$n_e({\bf r}) = \overline{n({\bf r})} = N \frac{\displaystyle{ \in... ...ac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \,d{\bf r} } } = D e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}}$$

となる。極限での条件より

$$n_e({\bf r}\to \infty) = n_0 = D = \frac{N}{{\displaystyle \int_{V\to \infty} e^{\frac{e\phi(\vr)}{k_BT}}}\,d^3r}$$

であるから、

$$n_e({\bf r}) = n_0 e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}}$$ (56)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp