2-c)

$\theta$を増やすと$\delta$が増加し電場の振幅が変化する。 $\theta$を$-\pi$から$+\pi$まで変化させた時の振幅の変化の様子を $l < \lambda$の時、 $l > \lambda$の時の二つの場合に分けて図示せよ。

2-c)解答

$-\pi \leq \theta \leq +\pi$で成り立つThe power per solid angleの式は

$$\left\langle \di{P}{\Omega} \right\rangle = \frac{c}{4\pi} \left\... ...2}\right)}{\displaystyle{{\rm Sinc}}\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)} \right)^2$$ (8)

であるので、今、

$$\frac{\delta}{2} = \frac{\omega l \sin\theta}{2c} = \frac{l}{\lambda} \pi \sin\theta = x \pi \sin\theta\,; \quad x = \frac{l}{\lambda}$$

として、この関数の振る舞いを見るために次の関数を定義する。

$$y(\theta) = \left( \frac{{\rm Sinc}\! \left[ (N+1)x \pi \sin\theta\right]}{ {\rm Sinc}\! \left[ x\pi \sin\theta\right]}\right)^2$$ (9)

$l < \lambda$の時、$x<1$であるからEq.(9)分母のsinc関数の引数は $[-\pi:\pi]$の範囲しかとれないので、極大になるのは分子が極大の時であり、

$$\left\{(N+1)x\pi \sin\theta\right\} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \theta = m\pi \quad ;m = 0,1, 2,\dots$$ (10)

となり、極小値となるのは、分子が零になるときなので、

$$(N+1)x\pi \sin\theta = m\pi \quad \Longrightarrow \quad \sin\theta = \frac{m\lambda}{(N+1)l} \leq 1 \, \quad ;m = 1, 2,\dots$$ (11)

となるが、$m$は不等式満たす範囲しかとれない。

$l > \lambda$の時、$x>1$であるから分母に先のような制限はなく、極大になるのは分母が零になるとき、つまり

$$x\pi \sin\theta = m\pi \, \Longrightarrow \, \sin\theta = \frac{m\lambda}{l} \leq 1 \quad ;m = 0,1, 2,\dots$$ (12)

となる。このとき$m$を干渉（回折）の次数という。極小値となるのは分子が零になるときなので、

$$(N+1)x\pi \sin\theta = n\pi \, \Longrightarrow \, \sin\theta = \frac{n\lambda}{(N+1)l} \leq 1 \quad ;n = 1, 2,\dots;\, \dfrac{n}{N+1}=m$$ (13)

となる。

具体的に$N+1=3$の場合、どのようなことが起こっているのか簡単な考察をしてみる。 強度の極小点は、何れかのantennaからの位相のずれが、丁度$2\pi$になったときであり、長さにして$\lambda$である。 この時の様子は図3の様になる。始めの極小点は $2lp=\lambda$である。 $l < \lambda$の場合、$p$が増えても隣同士のantennaで位相差が$2\pi$以上ずれることはないので、$[0:2\pi]$の間で強度がうち消し合い、ピークは減衰することになる。 $l > \lambda$の場合、 $lp'=\lambda,\,2lp''=2\lambda,\,2lp'''=2\lambda,\dots$の様に位相が$2\pi$ずれる点が存在するが、隣同士の場合はうち消さず（今の場合 $lp'=\lambda$の場合）、 減衰の効果が「リセット」され強度が「復活」することになる。

図 3: 左： $l < \lambda$、右： $l > \lambda$

図 4: $N+1=3, x=l/\lambda = 0.7 < 1$

図 5: $N+1=3, x=l/\lambda = e^{0.5} > 1$

図 6: $N+1=10, x=l/\lambda = 1/5$

図 7: $N+1=10, x=l/\lambda = 1/e^{0.5}$

図 8: $N+1=100, x=l/\lambda = 1/1000$

図 9: $N+1=10, x=l/\lambda = e$

図 10: $N+1=10, x=l/\lambda = e^3$

図 11: $N+1=100, x=l/\lambda = e^{0.1}$

図 12: $y(\theta ,x)$：$x<1$では単一のsinc関数として揺るまう。$x>1$では$m$個、間隔$\lambda /l$のsinc関数として揺る舞う。

Normal plot

clear
reset
set grid
set samples 1000
set xtics 0.5
set xlabel"{/Symbol q}"
N = 99.0
X = pi
y(x) = (  sin( (N+1)*X*pi*sin(x) )/sin( X*pi*sin(x) )  )/(N+1.0)
z(x) = (  sin( (N+1)*X*pi*sin(x) )/sin( X*pi*sin(x) )  )**2/(N+1.0)**2
set xrange[-pi:pi]
set yrange[-1.1:+1.1]
p y(x),z(x)

Log plot

clear
reset
set grid
set samples 1000
set xtics 0.5
set xlabel"{/Symbol q}"
N = 99.0
X = 1.0/pi
z(x) = (  sin( (N+1)*X*pi*sin(x) )/sin( X*pi*sin(x) )  )**2/(N+1.0)**2
set xrange[-pi:pi]
set yrange[1e-8:1e-0]
set format y "10^{%L}"
set logscale y
p z(x)

2D counter plot

reset
set grid
set isosample 1000
set pm3d map
set xtics ("0"0, "{/Symbol p}/2"pi/2, "-{/Symbol p}/2"-pi/2, "{/Symbol p}"pi-0.05, "-{/Symbol p}"-pi+0.05)
set xlabel"{/Symbol q}"
set ylabel"x=l/{/Symbol l}"
N = 9.0
Y(x,y) = (  sin( (N+1)*y*pi*sin(x) ) / sin( y*pi*sin(x) )  )**2/(N+1)**2
set format y "10^{%L}"
set logscale y
set xrange[-(pi-0.05):(pi-0.05)]
set yrange[1e-2:1e+1]
set zrange[0.0:1.0]
sp Y(x,y) notitle

脚注

... 強度の極小点は、何れかのantennaからの位相のずれが

隣り同士は除く。なぜなら隣同士で位相が$2\pi$ずれた場合、それはうち消すのではなくcoherentになる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp