2-a)

観測者は全てのantennaからの電場を重ね合わせた電場を感じる。観測される電場の振幅を求めよ。 ここでは電場を複素数で表して足し合わせ、最後に実部をとるようにすると、等比級数列の和の公式が使えて計算が楽である。結果は $\delta=\omega l\sin\theta/c$を用いて表せ。

2-a)解答

1同様に考えると

$$E_{\rm rad}(t) = \frac{1}{Rc^2} \sum_{i=1}^{N+1} \ddot{d}_i(t) = -\frac{\omega^2}{Rc^2} \sum_{i=1}^{N+1}{d}_i(t)$$

と書ける。ここで$d_i(t)$は、

$$d_1(t) = d \exp\left(i\omega t\right),\, d_2(t) = d \exp\left[ i ... ...,\,\dots, d_i(t) = d \exp(i\omega t) \exp\left[ -i\left(n-1\right)\delta\right]$$

である。これより $\delta=0\to\theta=0,\pm\pi$の時、

$$\sum_{i=1}^{N+1} d_i = (N+1)d \exp(i\omega t)$$

となり、 $\delta\ne 0 \to \theta\ne 0,\pm\pi$の時

$$\sum_{i=1}^{N+1} d_i = d \exp(i\omega t)\sum_{i=1}^{N+1} \exp(i\delta) =d \frac{1-\exp\left[-i\left(N+1\right)\delta\right]}{1-\exp(-i\delta)} \exp(i\omega t)$$

となるが、この時

$$\left\vert\frac{1-\exp\left[-i\left(N+1\right)\delta\right]}{1-\exp(-i\delta)}\right\vert^2 = \frac{1-\exp\left[+i\left(N+1\right)\delta\right]}{1-\exp(+i\de... ...in^2\left(\dfrac{(N+1)\delta}{2}\right)}{\sin^2\left(\dfrac{\delta}{2} \right)}$$

$$= (N+1)^2 \left\{ \frac{{\rm Sinc}\!\left(\dfrac{(N+1)\delta}{2}\right)}{{\rm Sinc}\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)} \right\}^2$$

である。以上より振幅は

$$\sqrt{ \left\langle E_{\rm rad}^2 \right\rangle } = \frac{\omega^2 d (N+1)}{\sqrt{2}\,R c^2} \frac{\displaystyle{{\... ...1)\delta}{2}\right)}{\displaystyle{{\rm Sinc}}\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)}$$ (5)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp