5-1

Maxwell方程式から、Maxwellの変位電流 $(1/4\pi)\partial \vE/\partial t$の項を落とし、 問題4と同様の変形をしてMaxwell方程式から得られる、電場、磁場が満たす方程式を導け。 問題4同様に $\rho=0,\vj=0$の電荷も電流も存在しない真空中とする。

5-1解答

$(1/4\pi)\partial \vE/\partial t=0,\rho=0,\vj=0$のとき、Maxwell方程式は、

$$\Nabla \cdot \vE\rt = 0 , \quad \Nabla \cdot \vB\rt =0 , \quad \Nabla \times \vE\rt = -\frac{1}{c}\del{\vB\rt}{t} , \quad \Nabla \times \vB\rt = 0$$

と書ける。Rotationを含む項に左から $\Nabla \times$を作用させると、

$$\Nabla \times \left( \Nabla\times \vE\rt\right)=\Nabla\left(\Nabl... ...rt = -\Nabla^2 \vE\rt =-\frac{1}{c}\deL{t}\left( \Nabla\times \vB\rt \right) =0$$

$$\qquad\qquad \Longrightarrow \quad \Nabla^2 \vE\rt =0$$ (7)

$$\Nabla \times \left( \Nabla\times \vB\rt\right)=\Nabla\left(\Nabla\cdot \vB\rt\right) -\Nabla^2 \vB\rt = -\Nabla^2 \vB\rt = 0$$

$$\qquad\qquad \Longrightarrow \quad \Nabla^2 \vB\rt =0$$ (8)

を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp