12-1

11の時、観測される電磁波のスペクトルが、

$\displaystyle \frac{dW}{dAd\omega}=cN \left\vert \hat{E}_0(\omega)\right\vert^2$

(27)

であることを示せ。

単位時間、単位面積当たりの電磁波のエネルギーはPoynting vectorを考えて、

$\displaystyle \frac{dW}{dt dA} = \frac{c}{4\pi} E^2(t)$

(28)

と書ける。これより単位面積当たりのエネルギーは時間積分して、

$\displaystyle \frac{dW}{dA} = \frac{c}{4\pi} \Int E^2(t) dt =c \int_0^\infty \left\vert\hat{E}(\omega)\right\vert^2d\omega$

となる。ここで、Parsevalの公式

$\displaystyle \Int E^2(t)dt = 2\pi \Int \left\vert\hat{E}(\omega)\right\vert^2 d\omega$

(29)

及び、Reality condition

$\displaystyle E^*(\omega) = E(-\omega)$

(30)

を用いた。以上より、単位時間、単位周波数、単位面積当たりのエネルギーである電磁波のスペクトルは

$\displaystyle \frac{dW}{dAd\omega}=c \left\vert \hat{E}(\omega)\right\vert^2$

(31)

と書け、11の時Eq.(27)で書ける。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp