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2-1

$ {\rm div}\,\,{\rm rot}\, =0$が恒等的に成り立つことを示せ。

2-1解答

$ {\bf f}$を任意の三次元ベクトルとする。

$\displaystyle \Nabla\cdot \left( \Nabla \times {\bf f}\right)$ $\displaystyle = \Nabla \cdot \left\{ \left( \ve_i \partial_i \right) \times \le...
...i f_j\right\} = \Nabla \cdot \left( \vepsilon_{ijk}\ve_k \partial_i f_j \right)$    
  $\displaystyle =\left( \ve_{k}\partial_k\right) \cdot \left( \vepsilon_{ijk}\ve_k \partial_i f_j \right) = \vepsilon_{ijk} \partial_{ik} f_j$    
  $\displaystyle =0,\qquad \because\, \partial_{ik}=\partial_{ki},\, \vepsilon_{ijk}=-\vepsilon_{kji}$    

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp