1-1

電荷密度の保存

$$\del{\rho}{t} +\Nabla \cdot \vj = 0$$ (1)

が電荷の保存を表すことを、積分形の電荷保存則を用いて示せ。

1-1解答

ある任意の体積を$V$、その表面積を$S$としその表面上外側に向いた法線ベクトルに平行で、大きさが$dS$の微小面積要素ベクトルを$d{\bf S}$とする。 Eq.(1)を体積積分すると

$$\int_{V} \left( \del{\rho}{t} +\Nabla \cdot \vj \right)dV =0$$

となるが、このとき電荷密度の時間変化の体積積分は

$$\int_{V} \del{\rho}{t} dV =\frac{\partial}{\partial t} \int_V \rho dV = \del{Q}{t}$$

となる。ここで$Q$は$V$中に含まれる全電荷である。 また、ガウスの発散定理より、

$$\int_V \Nabla \cdot \vj dV = \int_S \vj \cdot d{\bf S}$$

となり、これは$d{\bf S}$の定義から$V$の内側から外側に出ていく電流密度フラックスの総和、つまり電流$I$を表している。 よって、

$$\del{Q}{t} + \int_S \vj \cdot d{\bf S} =0\, ;\quad \left[\, \del{Q}{t}+I =0 \, \right]$$ (2)

は積分形の電荷の保存則を表す。 よってこの式の元となるEq.(1)も又電荷の保存を表していることになる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp