2-2

周波数分布は、中心周波数$\omega$の廻りで $\Delta \omega \sim 2\pi /\Delta t$程度の広がりを持つ。 この物理的理由を波の干渉を用いて定性的に説明せよ。 ここで $\Delta t\sim 2\pi/\Delta \omega$をcoherent time（可干渉時間）という。

2-2解答

無限の過去から無限の未来にわたってEq.(9)が観測できれば、観測される周波数に広がりはなく、 周波数$\omega_0$の完全な単色光として観測される。しかし有限の時間$\Delta t$の間のみの観測ではそのようにはならない。 この時の周波数の広がりを $\Delta \omega$としてこれを評価する。 このとき最大の周波数は $\omega_0+\Delta \omega/2$と書き、 最小の周波数は $\omega_0-\Delta \omega/2$と書く。 ある位相の波をうち消す波の位相は、もとの波の位相に比べ$\pi$だけずれている必要があるが、 全ての位相の波についてこれが成り立つのは波の位相が$2\pi$で一回りするので、 全ての周波数の波の位相が0から$2\pi$の範囲に分布したときである。 よって、

$$\left( \omega_0 +\frac{\Delta \omega}... ...)\Delta t = 2 \pi, \quad \therefore\, \Delta \omega \sim \frac{2\pi}{\Delta t}$$

となる。これは可干渉時間と相補的な関係になっている。

図 3: coherent time: $t\sim 0$の時と $t=2\pi /\Delta \omega =\pi$の時での比較。

　　

脚注

...の間のみの観測ではそのようにはならない

Fourier変換の原理的な制限。不確定性原理。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp