3-2

Gaussian Window

$\displaystyle W(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left[ -\dfrac{t^2}{2\sigma^2}\right]$

(16)

をFourier変換し、結果を図示せよ。この結果から $\Delta \omega \Delta t$ を評価せよ。

$\displaystyle \hat{W}(\omega)$	$\displaystyle = \frac{1}{2\pi} \Int \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left[ -... ...xp\left[ -\dfrac{1}{2\sigma^2}\left( t^2 -2 \sigma^2 i\omega t\right)\right] dt$
	$\displaystyle = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3/2} \sigma} \Int \exp\left[ -\dfra... ...\left(2\pi\right)^{1/2} \right\}\exp\left[ -\dfrac{\sigma^2 \omega^2}{2}\right]$
	$\displaystyle =\frac{1}{2\pi} \exp\left[ -\dfrac{\sigma^2 \omega^2}{2}\right]$	(17)

**図 5:** 左：周波数空間、右：時間空間
$\includegraphics[width=7.50truecm,scale=1.1]{omega.eps}$ 　　 $\includegraphics[width=7.50truecm,scale=1.1]{t.eps}$

ガウス型関数のの典型的な広がりは、周波数空間に於いて $\Delta \omega \sim 2/\sigma$ 、時間空間に於いて $\Delta t \sim 2\sigma$ と評価できる。よって、

$\displaystyle \Delta \omega \Delta t \sim 4$

(18)

である。

...と評価できる: 規格化されたガウス型関数の分散計算（この時、規格化されてるか否かに注意が必要）。またはこのグラフの特徴（変曲点）などから。
...: ガウス積分の公式： $\quad {\displaystyle \Int x^{2n} e^{-\lambda x^2} dx = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda^{2n+1}}}} ;\quad n=0,1,2,\dots$

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp