1 角運動量の和

連星系質量中心周りでの角運動量の和は

$${\bf J} = \sum {\bf r} \times {\bf p} = \sum_{i=1}^2 M_i {\bf r}_i \times {\bf\dot{r}}_i$$

で与えられるが、 運動は xy 平面内であり、 ${\bf J}$ は z 軸正の方向であるから $J$ は

$$J =\left\vert\sum_{i=1}^2 M_i {\bf r}_i \times {\bf\dot{r}}_i\right... ...ight) =\Omega \sum_{i=1}^2 M_i r_i^2 = \Omega \left(M_1 r_1^2 +M_2 r_2^2\right)$$

$$= \left[ M_1 \left(\frac{M_2}{M_1+M_2} a\right)^2 + M_2 \left(\fr... ...a \qquad \because \quad r_1 = \frac{M_2}{M_1+M_2} a ,r_1 = \frac{M_1}{M_1+M_2}a$$

$$=\left(M_1 a_1^2 +M_2 a_2^2\right) \Omega \qquad \because \quad a_1=\frac{M_2}{M_1+M_2}a,a_2=\frac{M_1}{M_1+M_2}a$$ (24)

$$=\left[ M_1 \left(\frac{M_2}{M_1+M_2} \right)^2 + M_2 \left(\frac... ..._2^2 +M_1^2 M_2}{M_1+M_2} \sqrt{\frac{Ga}{M}} \qquad \because\quad M_1+M_2=M$$

$$= M_1M_2 \sqrt{\frac{Ga}{M}}$$ (25)

となる。

もし星 $M_2$ から星 $M_1$ に物質が流れるとして、 しかも系全体の質量は保存されるとすれば $\dot{M}_1 >0 ,\dot{M}_2 <0$ 、 そして $\dot{M}_1+\dot{M}_2 =0$ が成り立つ。