1 磁場によるLorentz力の成分

運動方程式(5),(6),(7)を見ると、 $v/c \ll 1$であるためにLorentz力の項の括弧の中身は$x,y$成分について

$$\begin{cases}1- \dfrac{v_z}{c} \sim 1 \\ -1+ \dfrac{v_z}{c} \sim -1 \end{cases}$$

となり、磁場によるLorentz力はなくなってしまう。 $z$成分を見てみると小さいにせよ$v/c$の項のみが存在するため、 磁場によるLorentz力の影響が現れる。 このことから、磁場による Lorentz力が$z$成分のみ持つことが分かる。

$z$成分を書き下すと

$$F_z = \frac{qE_0}{c} \left(v_x \cos\omega t- v_y \sin\omega t\right) = \frac{qE_0}{c} \frac{qE_0}{\gamma} = \frac{q^2 E_0^2}{\gamma c}$$ (16)

となる。