2 偏光のない入射電磁波についての微分散乱断面積

図 1: Thomson 散乱分布の角

入射電磁波の伝播方向は $\bm{\kappa}=\vk/k$ で与えられるが、 これを $z$ 軸とし、 荷電粒子のいる座標原点を含み、 $z$ 軸に垂直な平面内に適当に $x$ 軸と $y$ 軸とをとる。 このとき $\vE$ と $\vB$ はこの $xy$ 平面内にある。 $\vE$ が $x$ 軸と成す角を $\varphi$ 、 散乱電磁波の散乱方向 $\vn$ が $z$ 軸と成す角を $\theta$ 、 そして $\vn$ の $xy$ 平面への射影が $x$ 軸と成す角を $\phi$ とする。 図より、

$$\vn = \left(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi,\cos\theta\right), \quad \vE =\left(E \cos\varphi ,E \sin\varphi,0\right)$$

であるから、

$$\cos\Theta =\frac{\vn \cdot \vE}{\left\vert\vn\right\vert \left\vert\vE\righ... ...i\sin\varphi =\sin\theta\left(\cos\phi \cos\varphi + \sin\phi\sin\varphi\right)$$

$$= \sin\theta\cos\left(\phi-\varphi\right)$$

となり、これを二乗して整理すると、

$$\sin^2\Theta =1-\sin^2\theta \cos^2\left(\phi-\varphi\right)$$ (57)

を得る。 これを、入射電磁波のかたより $\varphi$ について平均すると、

$$\left\langle \sin^2\Theta \right\rangle = \left\langle 1-\sin^2\theta\cos^2\left(\phi-\varphi\right) \rig... ...{0}^{2\pi} \left\{1-\sin^2\theta\cos^2\left(\phi-\varphi\right)\right\}d\varphi$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left\{1-\sin^2\frac{1+\cos\left[2... ...in\left\{2\left(\phi-\varphi\right)\right\}}{2}\right]_0^{2\pi}\right) \right\}$$

$$=\frac{1}{2\pi} \left( 2\pi -\frac{\sin^2\theta}{2} \left\{ 2\pi ... ...\phi) -\sin(-2\phi)}{2}\right\}\right) =\frac{1}{2} \left(2-\sin^2\theta\right)$$

$$=\frac{1}{2} \left(1+\cos^2\theta\right)$$

となる。 これは、 偏光のない入射電磁波について、 微分散乱断面積が、

$$\di{\sigma \left(\Omega'\right)}{\Omega'} \Bigg\vert _{\rm unpola... ...\langle \sin^2 \Theta \right\rangle =\frac{r_0^2}{2}\left(1+\cos^2\theta\right)$$ (58)

で与えられる--入射方向と散乱方向との間の角度 $\theta$ だけに依存する--ことを表す。