9 光子気体

自由 Bose粒子について、そのエネルギーレベル $\epsilon$ を占める粒子数の平均値は

$$\bar{n}_B(\epsilon )=\frac{1}{\exp(\alpha +\beta \epsilon ) -1}$$ (50)

で与えられる。 (17) に対応して

$$n(p)=\bar{n}_B(\epsilon )\,g\,\frac{4\pi p^2}{h^3}$$ (51)

が得られる。

光子は質量が零でスピンが $1$ の Bose 粒子であるが、 ある一定温度、一定体積の容器に閉じこめられた光子ガスに含まれる光子数は、 熱平衡条件により決まり（従って、光子数が温度に依存する）、光子数を保存量と見なすことはできないので、 $\mu=0$ 、従って $\alpha =0$ としなければならない。

温度 $T$ の光子気体を考える。光子についてエネルギー $\epsilon$ は $\epsilon =h\nu$ 、運動量は $p=\epsilon /c$ で与えられるとすれば、 振動数 $\nu$ と $\nu+d\nu$ との間にある光子の数密度 $\hat{n}(\nu)$は

$$n(p)\,dp=\hat{n}(\nu)\,d\nu$$

として

$$\hat{n}(\nu)\,d\nu=\frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^2}{\exp\left(\dfrac{h\nu}{kT}\right)-1} \,d\nu$$ (52)

で与えられる。 ここで光子は二つの偏りがあるので $g=2$ とした。

単位振動数当たりのエネルギー密度 $\tilde{u}(T,\nu)$ を

$$\tilde{n}(T,\nu)\,d\nu=h\nu \,\hat{n}(\nu) \, d\nu=\frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{\exp\left(\dfrac{h\nu}{kT}\right)-1} \,d\nu$$ (53)

で定義して、 エネルギー密度を

$$u(T)=\int_0^\infty \tilde{u}(T,\nu) \,d\nu$$ (54)

とする。今の場合、圧力を $P_{\rm Rad}$ と書くと

$$P_{\rm Rad} =\frac{1}{3}\int_0^\infty dp\,p v_p n(p) ,\qquad v_p=c\,,\,p=\frac{\epsilon}{c}=\frac{h\nu}{c}$$

$$= \frac{1}{3}\int_0^\infty h\nu \,\hat{n}(\nu)\,d\nu =\frac{1}{3}... ...}{c^3} \frac{\nu^3}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1} \,d\nu =\frac{1}{3}u(T)$$

であるから

$$P_{\rm Rad}=\frac{1}{3}u(T)$$ (55)

となることが分かる。 これは相対論的粒子についての $u=3P$ の関係と同じである。 また $u(T)$ は上の積分を計算することで

$$u(T) =\int_0^\infty \tilde{u}(T,\nu) \,d\nu =\int_0^\infty \frac{8\pi ... ...nu}{kT}\right)-1} \,d\nu ,\qquad \frac{h\nu}{kT}=x\,,\,\di{x}{\nu}=\frac{h}{kT}$$

$$=\frac{8\pi h}{c^3}\left(\frac{kT}{h}\right)^4 \int_0^\infty \fra... ...{2\pi}{h}\right)^3 \frac{k^4 \pi^2}{15c^3}T^4=\frac{\pi^2k^4}{15(\hbar c)^3}T^4$$

となるので

$$u(T)=\frac{\pi^2k^4}{15(\hbar c)^3}T^4 =a T^4 \, ,\hspace{15mm} a=\frac{\pi^2k^4}{15(\hbar c)^3}$$ (56)

となることが分かる。ここで比例係数 $a$ は輻射定数と呼ばれるものである。