1 解析解の導出

まず変数分離をするために $r^{1/2} \Sigma = T(t) S(x)$ として代入すれば

$$\frac{1}{T(t)} \frac{dT(t)}{dt} =\frac{12\nu}{x^2} \frac{d^2 S(x)}{dx^2} = -\lambda^2$$ (23)

となる。ここでは $\lambda$ は分離定数である。 時間の関数 $T(t)$ に関しては

$$T(t)= T(t=0,\lambda) \, e^{-\lambda^2 t} \equiv T_0 (\lambda) \, e^{-\lambda^2 t}$$ (24)

と積分ができ、空間の関数 $S(x)$ については

$$\frac{d^2S(x)}{dx^2} +\frac{\lambda^2}{12\nu} x^2 S(x)=0$$ (25)

という微分方程式を満たすことが分かる。 微分方程式

$$\frac{d^2 u}{dx^2} +\alpha x^{\beta}u =0$$ (26)

を満たす解は Bessel関数で与えられ、特に原点で正則な解は

$$u= \sqrt{x} J_{\frac{1}{\beta+1}} \left( \frac{2\sqrt{\alpha}}{\beta+2} e^{\frac{\beta+2}{2}}\right)$$ (27)

となることが分かる。 今の場合、原点で正則な解は $\beta=2,\alpha = \frac{\lambda^2}{12\nu}$ であるから

$$S(x)= A(\lambda) \sqrt{x} J_{1/4} \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda^2}{12\nu}} x^2 \right) =\sqrt{2} A(\lambda) r^{1/4} J_{1/4} (f\lambda r$$ (28)

で与えられる。 ここで $f=1/\sqrt{3\nu}$ であり、 $A(\lambda)$は $\lambda$ に依存するが、 $(x,t)$ には依らない任意定数である。 無限に広がった円盤について、 一般解は、$\lambda$ についての重ね合わせとして表せ

$$\Sigma(x,t) =\int_{0}^{\infty} d\lambda \, T_0(\lambda) \, e^{-\l... ...} d\lambda \, A(\lambda) e^{-\lambda^2 t} \sqrt{2} r^{-1/4} J_{1/4} (fr\lambda)$$ (29)

で与えられる。ここでは $T_0(\lambda) A(\lambda) \to A(\lambda)$ としている。

$t=0$ のとき、半径 $r=r_0$ の円周上だけに物質がたまっているとする。 このとき面密度 $\Sigma(r,t=0)$ を $\delta$ 関数を用いて

$$\Sigma(r,t=0) =\frac{m}{2\pi r_0} \delta(r-r_0)$$ (30)

と表す。ここで、 $m$ は溜まっている物質の質量である。 $\delta(r)$ は$1/r$ の次元をもつ。 式(30) は初期条件を与えている。 以下では、 Bessel 関数による展開定理

$$g(r) = \int_{0}^{\infty} \bar{g}(\alpha) J_{\nu} (\alpha r) d\alp... ...{or}\qquad \bar{g}(\alpha) = \alpha \int_{0}^{\infty} g(r) J_\nu(\alpha r) r dr$$ (31)

$$\int_{0}^{\infty} J_\nu(\alpha r) J_\nu (\bar{\alpha} r) r dr = \... ... (\alpha \bar{r}) J_\nu(\alpha r) \alpha d\alpha =\frac{1}{r} \delta(r-\bar{r})$$ (32)

などを用いる。 さて例えば

$$\delta(r-r_0) = \int_{0}^{\infty}D(\lambda) J_\nu(\lambda r) d\lambda =\int_{0}^{\infty}D(\bar{\lambda}) J_\nu(\bar{\lambda} r) d\bar{\lambda}$$ (33)

とするとき、両辺に $rdr$ をかけて、$r$ について零から無限大まで積分すると、 途中式(32) を用い

$$\int_{0}^{\infty} \delta(r-r_0) J_\nu (\lambda r) r dr =\int_{0}^... ... \int_{0}^{\infty} D(\bar{\lambda} r) J_\nu(\bar{\lambda} r) d\bar{\lambda} rdr$$

$$( ) =J_\nu (\lambda r_0) r_0$$

$$( ) =\int_{0}^{\infty} D(\bar{\lambda})d\bar{\lambda} \int_{0}^{\inft... ...) \frac{1}{\lambda} \delta(\lambda-\bar{\lambda}) = \frac{1}{\lambda}D(\lambda)$$

$$\therefore\, D(\lambda)= \lambda r_0 J_\nu (\lambda r_0)$$ (34)

となることが分かる。 また

$$\Sigma(r,t=0)= \frac{m}{2\pi r_0} \delta(r-r_0) =\int_{0}^{\infty} A(\lambda) \sqrt{2} r^{-1/4} J_{1/4} (fr \lambda) d\lambda$$ (35)

$$\therefore\, \frac{m}{2\pi r_0} r^{1/... ...a(r-r_0) =\int_{0}^{\infty} A(\lambda) \sqrt{2} J_{1/4} (fr \lambda) d\lambda$$

であることから、両辺に $J_{1/4}(fr\lambda) (fr)d(fr)$ をかけて、$fr$ について零から無限大まで積分すると、 途中式(32) を用い

$$\int_{0}^{\infty} \frac{m}{2\pi r_0} \delta(r-r_0)J_{1/4}(fr\lamb... ...bar{\lambda}) \sqrt{2}J_{1/4} \cdot(fr\bar{\lambda}) (fr) d(fr) d\bar{\lambda}$$

$$( ) =\frac{m}{2\pi r_0} r_0^{1/4} J_{1/4}(fr_0 \lambda) f^2 r_0 = \frac{m}{2\pi} r_0^{1/4} f^2 J_{1/4}(fr_0 \lambda)$$

$$( ) = \int_{0}^{\infty} d\bar{\lambda}\, \sqrt{2} A(\bar{\lambda}) \i... ...{1}{\lambda} \delta(\lambda-\bar{\lambda}) =\frac{\sqrt{2}}{\lambda} A(\lambda)$$

$$\therefore\, A(\lambda) = \frac{m}{2\sqrt{2} \pi} r_0^{1/4} f^2 \lambda J_{1/4}{(fr_0 \lambda)}$$ (36)

となることも分かる。 これを式(29) に代入すると

$$\Sigma(r,t)= \int_{0}^{\infty} d\lambda \, A(\lambda) e^{-\lambda... ...exp\left(-\lambda t\right) \lambda J_{1/4} (fr_0 \lambda) J_{1/4} (fr \lambda)$$

であり、 また Bessel 関数の積分についての

$$\int_{0}^{\infty}dx \, \exp\left( -a^2 x^2 \right) x J_\nu(px) J_... ...2a^2} \exp\left(-\frac{p^2+q^2}{4a^2}\right) I_\nu \left(\frac{pq}{2a^2}\right)$$ (37)

なる公式を使うと、 $a^2 \to t,fr_0 \to p,fr \to q$ に対応しているから

$$( ) = \frac{m}{2\pi} x^{-1/4} f^2 \cdot\frac{1}{2t} \exp\left(-\frac{... ...2 \left(\frac{r}{r_0}\right)}{\dfrac{2t \tau}{\frac{t}{r_0^2/(12\nu)}}} \right)$$

$$=\frac{m}{4\pi} x^{-1/4} \frac{12\nu}{r_0^2 \tau \cdot3\nu} \exp\... ...\tau} \exp\left[-\frac{1+x^2}{\tau}\right] I_{1/4} \left[\frac{2x}{\tau}\right]$$

$$\therefore\, \Sigma(r,t)=\frac{m}{\pi... ...\tau} \exp\left[-\frac{1+x^2}{\tau}\right] I_{1/4} \left[\frac{2x}{\tau}\right]$$ (38)

となることが分かる。ここで $\tau = t/(r_0^2/12\nu),x=r/r_0$ であり、 $I_\nu(x)$ は変形された (Modified) Bessel 関数である。 また、 $t_\mathrm{diff} = r_0^2/(12\nu)$ は拡散の時間スケールを与える量である。