2 球座標

球座標 $\left(x^1,x^2,x^3\right)=(r,\theta,\phi)$ のときその線素（無限小離れた二点間の距離の二乗）を

$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$$ (41)

で与えると、

$$g_{11}= 1, \quad g_{22} = r^2 , \quad g_{33} = r^2 \sin^2 \theta$$

$$g^{11}= 1, \quad g^{22} = \frac{1}{r^2} , \quad g^{33} = \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}$$ (42)

となることが分かる。

今、定義 (31) に従って $\Gamma_{kj}^i$ を計算することを考える。 零でない成分を考えると、計量テンソルは対角成分しか存在しないので、 括弧の外側で $l=i$ でなければならない。 同様に括弧の中では $k=l \mathrm{or} j=l \mathrm{or} k=j$ であるから、結局実際計算する必要があるのでは $k=l=i$ のときと $k=j,l=i$ のときである（$j=l=i$のときは $\Gamma_{kj}^i=\Gamma_{jk}^i$ の交換関係より$k=l=i$ の場合と結果は同じになる）。

$$\Gamma_{kj}^i = \frac{1}{2} \overbrace{g^{li}}^{l=i} \left( \unde... ... x^k}}^{j=l} - \underbrace{\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^l}}_{k=j} \right)$$

実際に計算をすると

k=l=i=1

j=1

$$\Gamma_{11}^1 =\Gamma_{rr}^r = \frac{1}{2}g^{11} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^1 } =0$$

j=2

$$\Gamma_{12}^1 = \Gamma_{r\theta}^r = \Gamma_{\theta r}^r = \frac{1}{2}g^{11} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^2 }=0$$

j=3

$$\Gamma_{13}^1 =\Gamma_{r\phi}^r =\Gamma_{\phi r}^r = \frac{1}{2}g^{11} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^3 } =0$$

k=l=i=2

　

j=1

$$\Gamma_{21}^2 = \Gamma_{\theta r}^\theta = \Gamma_{r \theta}^\the... ...partial g_{22} }{\partial x^1 } = \frac{1}{2} \frac{1}{r^2} 2r =\frac{1}{r}$$

j=2

$$\Gamma_{22}^2 = \Gamma_{\theta \theta}^\theta = \frac{1}{2}g^{22} \frac{\partial g_{22} }{\partial x^2 } =0$$

j=3

$$\Gamma_{23}^2 = \Gamma_{\theta \phi}^\theta = \Gamma_{\phi \theta}^\theta = \frac{1}{2}g^{22} \frac{\partial g_{22} }{\partial x^3 } = 0$$

k=l=i=3

　

j=1

$$\Gamma_{31}^3 = \Gamma_{\phi r}^\phi = \Gamma_{r \phi}^\phi = \fr... ...1 } = \frac{1}{2} \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} 2r \sin^2 \theta =\frac{1}{r}$$

j=2

$$\Gamma_{32}^3 = \Gamma_{\phi \theta}^\phi =\Gamma_{\theta \phi}^\... ...2 \sin^2 \theta} 2r^2 \cos\theta \sin\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

j=3

$$\Gamma_{33}^3 = \Gamma_{\phi \phi}^\phi = \frac{1}{2}g^{33} \frac{\partial g_{33} }{\partial x^3 } = 0$$

k=j=1

　

l=i=2

$$\Gamma_{11}^2 = \Gamma_{rr}^\theta = -\frac{1}{2}g^{22} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^2 } = 0$$

l=i=3

$$\Gamma_{11}^3 = \Gamma_{rr}^\phi = -\frac{1}{2}g^{33} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^3 } = 0$$

k=j=2

　

l=i=1

$$\Gamma_{22}^1 = \Gamma_{\theta \theta}^r = -\frac{1}{2}g^{11} \frac{\partial g_{22} }{\partial x^1 } = -\frac{1}{2} 2r = -r$$

l=i=3

$$\Gamma_{22}^3 = \Gamma_{\theta \theta}^\phi = -\frac{1}{2}g^{33} \frac{\partial g_{22} }{\partial x^3 } = 0$$

k=j=3

　

l=i=1

$$\Gamma_{33}^1 = \Gamma_{\phi \phi}^r = -\frac{1}{2}g^{11} \frac{... ...tial g_{33} }{\partial x^1 } = -\frac{1}{2} 2r\sin^2 \theta = -r \sin^2 \theta$$

l=i=2

$$\Gamma_{33}^2 = \Gamma_{\phi \phi}^\theta = -\frac{1}{2}g^{22} \... ...c{1}{2} \frac{1}{r^2} r^2 2 \sin\theta \cos\theta = - \sin\theta \cos\theta$$

となるから、零でないものは

$$\Gamma_{\theta \theta}^r = -r,\quad \Gamma_{\phi\phi}^r = -r \sin... ...ma_{\theta \phi}^\phi=\Gamma_{\phi \theta}^\phi =\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

となる。共変微分の定義に従って

$$\mathbf{\nabla}^2 \Phi \equiv \left(g^{ij} \frac{\partial \Phi}{\... ...partial x^j}\right) + \Gamma_{ki}^{i} g^{kj} \frac{\partial \Phi}{\partial x^j}$$ (43)

を計算すると $\Gamma_{ki}^i$ に注意して

$$\mathbf{\nabla}^2 \Phi \equiv \left(g^{ij} \frac{\partial \Phi}{\partial x^j}\right)_{;i} =\frac{\partial}{\partial x^1}\left(g^{11}\frac{\partial \Phi}{\p... ...al \Phi}{\partial x^1} +\Gamma_{23}^3 g^{22} \frac{\partial \Phi}{\partial x^2}$$

$$=\frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2} + \frac{\partial}{\partial ... ...rac{\cos\theta}{\sin\theta} \frac{1}{r^2} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta}$$

$$=\frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial ... ...ial \theta} +\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}$$

$$=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}\left(r\Phi\right) +\... ...ta}\right) +\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}$$

となる。また $\left(\dot{x}^j\right)_{;j}$ を計算すると (26) より

$$\left(\dot{x}^j\right)_{;j} = \frac{\partial \dot{x}^j}{\partial x^j} + \Gamma_{kj}^j \dot{x}... ...c{1}{r} \dot{r} +\frac{1}{r} \dot{r} +\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\dot{\theta}$$

$$=\frac{\partial v^r}{\partial r} + \frac{2}{r}v^r +\frac{1}{r} \f... ...sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( r \sin\theta \dot{\phi}\right)$$

$$=\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 v^r\right) +... ...a v^{\theta}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v^\phi}{\partial \phi}$$ (44)

となる。ここで $v^r,v^\theta,v^\phi$ は $v^r = \dot{r},v^\theta=r\dot{\theta},v^\phi=r\sin\theta \dot{\phi}$ の関係が成り立つ速度成分である。

さて、粘性応力テンソル $\sigma_{ij}$ は $\sigma_{ij}dx^i dx^j$ がスカラーになるように定義すれば二階の共変テンソルとなる。 応力テンソル $\sigma_{ij}$ を粘性係数 $\eta$ を用いて、簡単のため以下では

$$\sigma_{ij}=\eta \left[ \left(\dot{x}_i\right)_{;j}+\left(\dot{x}... ...\frac{\partial \dot{x}^k}{\partial x^i} +\Gamma_{li}^k \dot{x}^l\right) \right]$$ (45)

で定義する。 $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ であり対称テンソルである。 また、デカルト座標 （$i=j$ のとき $g_{ij}=1$、$i\neq j$ のとき $g_{ij}=0$ で、 $\Gamma_{jk}^i=0,\dot{x}^j=v^j,\dot{x}^j=v^j=v_j$ など）では、単に

$$\sigma_{ij}= \eta\left(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\frac{\partial v^j}{\partial x^i}\right)$$ (46)

で与えられる。

ベクトルやテンソルの空間部分を共変微分に書き換えて、 両辺が共変ベクトルとなるように変換すれば、 粘性流体の運動方程式は

$$\rho g_{ij} \left( \frac{\partial \dot{x}^j}{\partial t} + \dot{x... ...tial \Phi}{\partial x^i} + \left( g^{km} \sigma_{im}\right)_{;k}\right]\bm{a}^i$$ (47)

または、両辺が反変ベクトルとなるように変換すれば次のように書ける。

$$\rho \left( \frac{\partial \dot{x}^j}{\partial t} + \dot{x}^k \do... ...Phi}{\partial x^i} + \left( g^{km} \sigma_{im}\right)_{;k}\right]g^{ij}\bm{a}_j$$ (48)