5 Christoffel の記号

$g_{ij}$ の空間微分 $\partial g_{ij}/\partial x^k$ は (25) より

$$\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} = \frac{\partial}{\partial x... ...ma_{jk}^l \bm{a}_l \cdot \bm{a}_i = \Gamma_{ik}^l g_{lj} + \Gamma_{jk}^l g_{li}$$

$$\hspace{0mm}\therefore\quad \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} =\Gamma_{ik}^l g_{lj} + \Gamma_{jk}^l g_{li}$$ (29)

である。また、 $(\bm{a}_i =\partial \bm{x}/\partial x^i で、\partial \bm{a}_i /\partial x^j = ... ... \bm{x}/\partial x^i \partial x^j = \partial \bm{a}_j /\partial x^i であるから)$

$$\Gamma_{ij}^k =\Gamma_{ji}^k$$ (30)

とすれば、 (29) を用いると

$$\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^j} =\Gamma_{kj}^i g_{il} + \Gamma_{lj}^i g_{ik}$$

$$\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^k} =\Gamma_{jk}^i g_{il} + \Gamma_{lk}^i g_{ij}$$

$$\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^l} =\Gamma_{kl}^i g_{ij} + \Gamma_{jl}^i g_{ik}$$

であるので、これを組み合わせて、

$$\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^l} = \left( \Gamma_{kj}^i +\Gamma_{jk}^i\right)g_{il} + \left( \Gamm... ...ij} + \left( \Gamma_{lj}^i -\Gamma_{jl}^i\right)g_{ik} = 2 \Gamma_{kj}^i g_{il}$$

$$\therefore \quad \Gamma_{kj}^i = \fra... ...c{\partial g_{jl}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^l} \right)$$ (31)

であることが分かる。これを Christoffel の記号と呼ぶ。

ベクトルの積 $\xi^i \xi^j$ はそれぞれの反変性より

$$\overline{\xi^i \xi^j} = \bar{\xi}^i \bar{\xi}^j = \frac{\partial... ...al \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} \xi^k \xi^l$$

であるから、二階の反変テンソルとして振る舞うことが分かる。 共変微分について

$$\left(\xi^i \xi^j\right)_{;k} = \xi_{;k}^i \xi^j + \xi^i \xi_{;k}^j$$ (32)

が成立するとすれば、この式を展開することで

$$\left(\xi^i \xi^j\right)_{;k} = \xi_{;k}^i \xi^j + \xi^i \xi_{;k}^j = \left(\frac{\partial \xi^... ...\partial x^k}\cdot \xi^i +\Gamma_{lk}^i \xi^l \xi^j + \Gamma_{lk}^j \xi^i \xi^l$$

$$= \frac{\partial}{\partial x^k} \left(\xi^i \xi^j\right) + \Gamma_{lk}^i \xi^l \xi^j + \Gamma_{lk}^j \xi^i \xi^l$$ (33)

となる。同様にすれば (28) より

$$\left(\xi_i \xi_j\right)_{;k} = \xi_{i;k} \xi_j + \xi_i \xi_{j;k} = \left(\frac{\partial \xi_i}... ...\partial x^k}\cdot \xi_i -\Gamma_{ik}^l \xi_l \xi_j - \Gamma_{jk}^l \xi_i \xi_l$$

$$= \frac{\partial}{\partial x^k} \left(\xi_i \xi_j\right) -\Gamma_{ik}^l \xi_l \xi_j - \Gamma_{jk}^l \xi_i \xi_l$$ (34)

が成立する。 これより任意の二階の反変テンソルや共変テンソルの共変微分が

$$\left(T^{ij}\right)_{;k} = \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^k} + \Gamma_{lk}^i T^{lj } + \Gamma_{lk}^j T^{il}$$ (35)

$$\left(T_{ij}\right)_{;k} = \frac{\partial T_{ij}}{\partial x^k} - \Gamma_{ik}^l T_{lj } - \Gamma_{jk}^l T_{il}$$ (36)

で与えられることが分かる。