2 反変、共変、混合テンソル

テンソルについても同様に定義する。 例えば二階の反変、共変、混合テンソルは添え字一つ一つについて

$$\bar{T}^{ij} =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\parti... ...ial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial {x}^l}{\partial \bar{x}^j} T^{k}_{l}$$ (8)

の様に変換するものとする。 更に高階の（反変、共変、混合）テンソルについてもこの変換則を拡張できるものとする。 スカラーは零階、ベクトルは一階のテンソルと考えることができる。

さて、ベクトルの反変成分に関する基底ベクトルを、 それぞれの座標系に於いて $\bm{a}_i,\bar{\bm{a}}_i$ と書けば、 任意のベクトル $\vec{\xi}$ は

$$\vec{\xi} = \xi^i \bm{a}_i = \bar{\xi}^i \bar{\bm{a}}_i$$ (9)

と表される。 同様に、共変成分に対する基底ベクトルを $\bm{a}^i,\bar{\bm{a}}^i$ と書けば

$$\vec{\xi} = \xi_i \bm{a}^i = \bar{\xi}_i \bar{\bm{a}}^i$$ (10)

と表すことができる。

これが任意の二つの座標系で成り立つためには ベクトル $\vec{\xi}$ が二つの座標系に於いて等しくなればいいので $\vec{\xi}= \vec{\bar{\xi}}$ 、 つまり基底ベクトル $\bm{a}_j$ は座標変換に対して、

$$\vec{\xi} = \vec{\bar{\xi}} = \bar{\xi}^i {\bar{\bm{a}}}_i = \frac{\partial... ...bar{\bm{a}}}_i =\xi^j \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}{\bar{\bm{a}}}_i$$

$$= \xi^i \bm{a}_i = \xi^j \bm{a}_j \qq... ...herefore \quad\bm{a}_j =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}{\bar{\bm{a}}}_i$$ (11)

でなければならず、同様に基底ベクトル $\bm{a}^j$ は座標変換に対しては、

$$\vec{\xi} = \vec{\bar{\xi}} = \bar{\xi}_i{\bar{\bm{a}}}^i = \frac{\partial ... ...r{\bm{a}}}^i =\xi_j \frac{\partial {x}^j}{\partial \bar{x}^i}{\bar{\bm{a}}}^i$$

$$= \xi_i \bm{a}^i = \xi_j \bm{a}^j \qq... ...fore \quad \bm{a}^j =\frac{\partial {x}^j}{\partial \bar{x}^i} {\bar{\bm{a}}}^i$$ (12)

でなければならない。