S/N（エスエヌ）
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開始行:
*Signal-to-Noise ratio = S/N 比 [#od594667]
ある天体から来る光子(フォトン)の数を数える事を考える。今...
\begin{equation}
S_{in} = C t
\end{equation}
とかける。背景光の寄与等は、今は無視した理想的な状態を考...
$S_{in}$がポアソン分布に従うとすると、その計測誤差(ポワソ...
\begin{equation}
N_{in} = \sqrt{S_{in}} = \sqrt{C t}
\end{equation}
である。Signal to Nose ratioは、天体から来た光子(シグナル...
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{in} = \frac{S_{in}}{N_{in}} =...
\end{equation}
となる。例えば、光子が100個入ってきたら、そのポワソンノイ...
次に、光子を検出器で数える事を考える。
量子効率を$Q$とする。
ポワソンノイズの所でも議論したとおり、光子が検出器に当た...
個数の平均を観測しているのであるから、&color(red){$Q$を掛...
従って、検出器によって数えられる電子の数のS/N比は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{electron} = \frac{Q C t}{\sqr...
\end{equation}
となる。
上式を使って整理すると、
\begin{equation}
Q = \frac{ \left( \frac{S}{N} \right)_{electron}^2 }{ \le...
\end{equation}
となる。この式は、検出器の量子効率を求める時に利用できる。
*Signal-to-Noise ratioの悪化 [#va9810d3]
これまでは、天体の明るさを測った時のポワソンノイズ＝フォ...
しかし、観測装置には天体からやってくる光に依存するフォト...
以下の議論では検出器のゲインを$G$とする。ゲインとは、何個...
CCD等を用いてデータを取得した結果得られる画像はこのAstron...
$G$を掛ける事は確率過程を経る事では無いので、&color(red){...
以下観測の結果ADU単位で得られた数にoutという添え字をつけ...
**フォトンショットノイズ(天体からのシグナルに依存)：$N_s$...
\begin{equation}
N_s = G\sqrt{Q C t}
\end{equation}
である。
フォトンショットノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G \sqrt...
\end{equation}
となる。
**バックグランウドショットノイズ(天体からのシグナルに無関...
天体からの光に関係ない背景光、例えばスカイによって発生す...
\begin{equation}
N_b = G\sqrt{Q C_b t}
\end{equation}
である。$C_b$は、単位時間あたりバックグラウンドから来る光...
バックグラウンドショットノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G \sqrt...
\end{equation}
となる。
**ダークショットノイズ(天体からのシグナルに無関係)：$N_d$...
検出器が持つ熱によって発生する光子によるノイズで、
\begin{equation}
N_d = G\sqrt{Q C_d t}
\end{equation}
である。$C_d$は、単位時間あたりに発生する熱雑音光子の数で...
ダークショットノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G \sqrt...
\end{equation}
となる。
**リードアウトノイズ(天体からのシグナルに無関係)：$N_r$ [...
検出器を読み出すときに発生するノイズで、読み出し雑音とも...
\begin{equation}
N_r = G R
\end{equation}
である。ここでRと言っているのは読み出し雑音の期待値がRな...
リードアウトノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G R}
\end{equation}
となる。
*総ノイズ [#tcbec748]
総ノイズ$N_{total}$を考える場合は、誤差伝播を解いて、
\begin{equation}
N_{total}^2 = N_s^2 + N_b^2 + N_d^2 + N_r^2 ...
\end{equation}
と言う具合に、&color(red){全てのノイズ源からの寄与を足し...
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{S_{out}}{N_{tota...
\end{equation}
と考えなければならない。
*S/N比を上げるには？ [#d4651f83]
S/N比を上げる事は、誤差の少ない良いデータを得る事に相当す...
S/N比を上げるにはどうしたら良いだろうか？まずはノイズを減...
だが、フォトンショットノイズは天体の明るさに依存するので...
ではどうすればよいだろう？
上で出てきた式全てに共通して言える事は(リードアウトノイズ...
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} \propto \sqrt{t}
\end{equation}
という事である。従って、例えばS/Nを2倍にしたければ、積分...
積分時間を4倍にできない場合(サチってしまう場合)は、同じ積...
ランダムノイズなので4枚の平均値であればノイズは$1/\sqrt{4...
更に、繰り返しになるかもしれないが、おおよそ、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} \propto \sqrt{S}
\end{equation}
である事から、とある天体のS/NがAだった場合、その天体の4倍...
明るい天体に対してはノイズの少ない良いデータを得る事がで...
*S/N比と等級の関係 [#r0d59fe4]
等級の定義は、
\begin{equation}
m = -2.5 \log \frac{f}{f_0} + \textrm{Const}
\end{equation}
であった。この式で、天体から来る光、すなわち$f$に計測誤差...
\begin{equation}
m = -2.5 \log \frac{f}{f_0} + \textrm{Const} = -2.5 \left...
\end{equation}
で、
\begin{equation}
\frac{\partial m}{\partial f} = \left( \frac{-2.5}{\ln 10...
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
\sigma_m^2 = \left( \frac{\partial m}{\partial f} \right)...
\end{equation}
となる。よく見ると、$\frac{\sigma_f}{f}$の部分は、S/N比の...
\begin{equation}
\sigma_m = 1.0857 \times \frac{1}{\left( \frac{S}{N} \rig...
\end{equation}
と書く事ができる。従って、例えばS/N比が10の天体があった場...
終了行:
*Signal-to-Noise ratio = S/N 比 [#od594667]
ある天体から来る光子(フォトン)の数を数える事を考える。今...
\begin{equation}
S_{in} = C t
\end{equation}
とかける。背景光の寄与等は、今は無視した理想的な状態を考...
$S_{in}$がポアソン分布に従うとすると、その計測誤差(ポワソ...
\begin{equation}
N_{in} = \sqrt{S_{in}} = \sqrt{C t}
\end{equation}
である。Signal to Nose ratioは、天体から来た光子(シグナル...
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{in} = \frac{S_{in}}{N_{in}} =...
\end{equation}
となる。例えば、光子が100個入ってきたら、そのポワソンノイ...
次に、光子を検出器で数える事を考える。
量子効率を$Q$とする。
ポワソンノイズの所でも議論したとおり、光子が検出器に当た...
個数の平均を観測しているのであるから、&color(red){$Q$を掛...
従って、検出器によって数えられる電子の数のS/N比は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{electron} = \frac{Q C t}{\sqr...
\end{equation}
となる。
上式を使って整理すると、
\begin{equation}
Q = \frac{ \left( \frac{S}{N} \right)_{electron}^2 }{ \le...
\end{equation}
となる。この式は、検出器の量子効率を求める時に利用できる。
*Signal-to-Noise ratioの悪化 [#va9810d3]
これまでは、天体の明るさを測った時のポワソンノイズ＝フォ...
しかし、観測装置には天体からやってくる光に依存するフォト...
以下の議論では検出器のゲインを$G$とする。ゲインとは、何個...
CCD等を用いてデータを取得した結果得られる画像はこのAstron...
$G$を掛ける事は確率過程を経る事では無いので、&color(red){...
以下観測の結果ADU単位で得られた数にoutという添え字をつけ...
**フォトンショットノイズ(天体からのシグナルに依存)：$N_s$...
\begin{equation}
N_s = G\sqrt{Q C t}
\end{equation}
である。
フォトンショットノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G \sqrt...
\end{equation}
となる。
**バックグランウドショットノイズ(天体からのシグナルに無関...
天体からの光に関係ない背景光、例えばスカイによって発生す...
\begin{equation}
N_b = G\sqrt{Q C_b t}
\end{equation}
である。$C_b$は、単位時間あたりバックグラウンドから来る光...
バックグラウンドショットノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G \sqrt...
\end{equation}
となる。
**ダークショットノイズ(天体からのシグナルに無関係)：$N_d$...
検出器が持つ熱によって発生する光子によるノイズで、
\begin{equation}
N_d = G\sqrt{Q C_d t}
\end{equation}
である。$C_d$は、単位時間あたりに発生する熱雑音光子の数で...
ダークショットノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G \sqrt...
\end{equation}
となる。
**リードアウトノイズ(天体からのシグナルに無関係)：$N_r$ [...
検出器を読み出すときに発生するノイズで、読み出し雑音とも...
\begin{equation}
N_r = G R
\end{equation}
である。ここでRと言っているのは読み出し雑音の期待値がRな...
リードアウトノイズが支配的な時は、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{G Q C t}{G R}
\end{equation}
となる。
*総ノイズ [#tcbec748]
総ノイズ$N_{total}$を考える場合は、誤差伝播を解いて、
\begin{equation}
N_{total}^2 = N_s^2 + N_b^2 + N_d^2 + N_r^2 ...
\end{equation}
と言う具合に、&color(red){全てのノイズ源からの寄与を足し...
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} = \frac{S_{out}}{N_{tota...
\end{equation}
と考えなければならない。
*S/N比を上げるには？ [#d4651f83]
S/N比を上げる事は、誤差の少ない良いデータを得る事に相当す...
S/N比を上げるにはどうしたら良いだろうか？まずはノイズを減...
だが、フォトンショットノイズは天体の明るさに依存するので...
ではどうすればよいだろう？
上で出てきた式全てに共通して言える事は(リードアウトノイズ...
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} \propto \sqrt{t}
\end{equation}
という事である。従って、例えばS/Nを2倍にしたければ、積分...
積分時間を4倍にできない場合(サチってしまう場合)は、同じ積...
ランダムノイズなので4枚の平均値であればノイズは$1/\sqrt{4...
更に、繰り返しになるかもしれないが、おおよそ、
\begin{equation}
\left( \frac{S}{N} \right)_{out} \propto \sqrt{S}
\end{equation}
である事から、とある天体のS/NがAだった場合、その天体の4倍...
明るい天体に対してはノイズの少ない良いデータを得る事がで...
*S/N比と等級の関係 [#r0d59fe4]
等級の定義は、
\begin{equation}
m = -2.5 \log \frac{f}{f_0} + \textrm{Const}
\end{equation}
であった。この式で、天体から来る光、すなわち$f$に計測誤差...
\begin{equation}
m = -2.5 \log \frac{f}{f_0} + \textrm{Const} = -2.5 \left...
\end{equation}
で、
\begin{equation}
\frac{\partial m}{\partial f} = \left( \frac{-2.5}{\ln 10...
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
\sigma_m^2 = \left( \frac{\partial m}{\partial f} \right)...
\end{equation}
となる。よく見ると、$\frac{\sigma_f}{f}$の部分は、S/N比の...
\begin{equation}
\sigma_m = 1.0857 \times \frac{1}{\left( \frac{S}{N} \rig...
\end{equation}
と書く事ができる。従って、例えばS/N比が10の天体があった場...
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