![[Yoshifusa]](image/Toh_J_M_P.gif "[Yoshifusa]")
ある天体から来る光子の数を数える事を考える。今、系統誤差が無視できるとすれば、光子の数を数える測定をする度に、その測定値には偶然誤差(＝ランダムノイズ)がのる。天体から単位時間あたり&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;個の光子がやってきているとすると、時間&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;の間に「天体から」来る光子の数&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;は、
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とかける。背景光の寄与等は、今は無視した理想的な状態を考えている事に注意。
&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;がポアソン分布に従うとすると、その計測誤差(標準偏差)&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;は、
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である。Signal to Nose ratioは、天体から来た光子(シグナル)のうち、どれだけの割合がノイズ(計測誤差)なのか、という事を表していて、
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となる。例えば、光子が100個入ってきたら、その統計揺らぎ(標準偏差)による計測誤差は&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;個であり、S/N比は&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;となる。
次に、光子を検出器で数える事を考える。量子効率を&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;とすると、検出器による出力のS/N比は、
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となって、上式を使って整理すると、
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となる。この式は、検出器が入射光子数に対して線形の反応を示す時にのみ成り立つ。
これまでは、天体そのものの明るさを測った時の統計揺らぎ(ポワソンノイズ)、すなわちフォトンショットノイズのみを議論してきた。しかし、観測装置には、天体からやってくる光に依存するフォトンショットノイズの他にも、様々なノイズ源がある。以下に代表的な物を示すが、以下の議論では検出器のゲイン(何個光子が入って来た時に、何ADUとして検出されるかの比例定数)を&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;とする。
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なので、フォトンショットノイズが支配的な時は、
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となる。
天体からの光に関係ない背景光、例えば空が発する光によって発生するノイズで、
#tex(): Error! The expression contains invalid characters.
である。&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;は、単位時間あたりバックグラウンドから来る光子の数である。バックグラウンドショットノイズが支配的な時は、
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となる。
検出器が持つ熱によって発生する光子によるノイズで、
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である。&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;は、単位時間あたりに発生する熱雑音光子の数である。ダークショットノイズが支配的な時は、
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となる。
従って、総ノイズ&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;を考える場合は、誤差伝播を解いて、
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と言う具合に、全てのノイズ源からの寄与を足し合わせ、最終的なS/Nは、
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と考えなければならない。
\S/N比を上げて、誤差の少ない良いデータを得るにはどうしたら良いだろうか？まずはノイズを減らせば良い事は誰でもわかる。だが、フォトンショットノイズは天体の明るさに依存するので、減らそうにも減らせない。ではどうすればよいだろう？
上式全てに共通して言える事は、
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という事である。従って、例えばS/Nを2倍にしたければ、積分時間を4倍にしてやればよい事がわかる。積分時間を4倍にできない場合(サチってしまう場合)は、同じ積分時間のデータを4枚取って平均値を計算すればよい。ランダムノイズなので4枚の平均値であればノイズは&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;になるはずである。
更に、繰り返しになるかもしれないが、おおよそ、
#tex(): Error! The expression contains invalid characters.
である事から、とある天体のS/NがAだった場合、その天体の4倍明るい天体は、S/Nが2倍の2Aである、という事もわかる。
等級の定義は、
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であった。この式で、天体から来る光、すなわち&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;に計測誤差が含まれた場合、等級スケールでの誤差&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;を考える。
#tex(): Error! The expression contains invalid characters.
で、
#tex(): Error! The expression contains invalid characters.
であるから、
#tex(): Error! The expression contains invalid characters.
となる。よく見ると、&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;の部分は、S/N比の逆数そのものである。よって、
#tex(): Error! The expression contains invalid characters.
と書く事ができる。従って、例えばS/N比が10の天体があった場合、その等級スケールでの誤差は、&tex(): Error! The expression contains invalid characters.;等、という事になる。S/N比が100だったら、誤差は約0.01等という事と同義である。
