2 計算

実際に先ほどの積分 $\int_0^\infty x^3/(e^x-1)dx$を計算してみる。 この積分は、積分変数 $x$ の値を大きくとると $e^x$ が数値的に発散してしまうので、

$$I= \int_{0}^{\infty} dx\, \frac{x^3 e^{-x}}{1-e^{-x}} \cong \int_{\epsilon}^{A} dx \, \frac{x^3 e^{-x}}{1-e^{-x}} \sim I(\epsilon,A)$$ (6)

と書き換えて計算するのが適当である。 ここで $A>0$ は適当に大きな数であり、 $\epsilon>0$ は適当に小さな数である。 $\epsilon=0$ とすると、数値積分領域に被積分関数中分母が $1-e^{-x}$ が零となる点が含まれることになるので、 数値計算をするときは、 適当に小さな $\epsilon$ を使う必要がある。 今回は $A$ を指定するのではなく $I_n$ と $I_{n+1}$ の差の絶対値が十分小さな値以下になるまで計算する様にした。 実際のところはグラフから分かるように高々 $x\sim 35$ 程度で被積分関数は $10^{-10}$ 程度の大きさになるので、 $A$ の値が十分大きくなる前に値が求まることになる。

計算結果は次の通りである。（ $\epsilon=dx$ としてある。）

$$I(10^{-1},45.4000) =6.4936199578686695233$$

$$I(10^{-2},42.7400) = 6.4939390703474284550$$

$$I(10^{-3},40.2220) =6.4939394019339164998$$

$$I(10^{-4},37.7242) =6.4939394022609082668$$

$$I(10^{-5},35.2147) =6.4939394022307972421$$

$$I(10^{-6},32.6888) =6.4939394019330034524$$

$\epsilon = 10^{-4}$ のときの値が最も理想値に近い。