2 完全縮退している場合

完全縮退している相対論的な電子気体の圧力は

$$P=\frac{8\pi}{3mh^3}\int_0^{p_f} dp\,\frac{p^4}{\sqrt{1+(p/mc)^2}}$$ (41)

で得られるであろう。これ積分すると

$$P =\frac{8\pi}{3mh^3}\int_0^{p_f} dp\,\frac{p^4}{\sqrt{1+(p/mc)^2}} ,\qquad \frac{p}{mc}=s,\,\di{s}{p}=\frac{1}{mc}$$

$$=\frac{8\pi m^4c^5}{3h^3}\int_0^{x}\frac{s^4}{\sqrt{1+s^2}}\,ds$$

となる。この積分を計算するのはなかなか酷である。 今、賢い方法として

$$\sqrt{1+s^2}=s+t\,\,\, とすると、\,\,s=\frac{1-t^2}{2t}, \,\sqrt{1+s^2}=\frac{1+t^2}{2t},\,\di{s}{t}=-\frac{t^2+1}{2t^2}\,, \, x=\frac{p_f}{mc}$$

であるから

$$\int_0^{x}\frac{s^4}{\sqrt{1+s^2}}\,ds =-\int_{0}^{-x+\sqrt{1+x^2}} \frac{2t}{1+t^2}\left(\frac{1-t^2}{2... ...^{-x+\sqrt{1+x^2}}\left(t^3-4t+\frac{2}{t}-\frac{4}{t^3}+\frac{1}{t^5}\right)dt$$

$$=\frac{1}{8}\left[-\frac{t^4}{8}+t^2-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{8t^4} -3 \log t\right]_0^{-x+\sqrt{1+x^2}}$$

$$=\frac{1}{8}\left\{ x(2x^2-3) \sqrt{x^2+1} + 3\ln\left(x+\sqrt{1+... ...eft\{x(2x^2-3) \sqrt{x^2+1} + 3{\rm sinh}^{-1} x\right\} \equiv \frac{1}{8}f(x)$$

と計算される。 以上より $P$ は

$$P=\frac{\pi m^4 c^5}{3h^3}f(x),\qquad x=\frac{p_f}{mc}=\frac{h}{mc}\left(\frac{3}{8\pi} n_0\right)^{1/3}$$ (42)

となることが分かる。

ここで $f(x)$ の $x\to 0$、 $x\to +\infty$ での展開を考える。 ここでは次の一般弐項展開

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots +\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n +o\left(x^n\right)$$

を許に、展開を考えることとする。 $x\to 0$ の極限では $x=0$ のまわりで展開することで

$$f(x) =8\int_0^{x}\frac{s^4}{\sqrt{1+s^2}}\,ds ={8} \int_0^x ds\,s^4\le... ...ac{3}{8}x^8 +\cdots\right) =\frac{8}{5}x^5 -\frac{4}{7}x^7+\frac{x^9}{3}+\cdots$$

であるから

$$f(x) \approx \frac{8}{5}x^5 -\frac{4}{7}x^7+\cdots$$ (43)

となる。$x\to 0$ の極限では $0<x<\infty$ で展開することで

$$f(x) =8\int_0^{x}\frac{s^4}{\sqrt{1+s^2}}\,ds =8\int_0^{x}\frac{s^3}{\... ...4}+\cdots\right) =8\int_0^x ds\left( s^3-\frac{x}{2}+\frac{3}{8x} \cdots\right)$$

$$=2x^4 -2x^2+{3}\ln x+\cdots$$

であるから

$$f(x) \approx 2x^4 -2x^2+\cdots$$ (44)

となる。 従って、質量密度を $\rho=mn_0$ とすれば

$$P=\frac{\pi m^4 c^5}{3h^3}f(x) \quad \propto \quad \left(\rho^5\right)^{1/3}=\rho^{5/3} \, ,\qquad x \ll 1$$

$$\propto \quad \left(\rho^4\right)^{1/3}=\rho^{4/3} \, ,\qquad x \gg 1$$ (45)

となることが分かる。