完全縮退している相対論的な電子気体の圧力は
![$\displaystyle P=\frac{8\pi}{3mh^3}\int_0^{p_f} dp\,\frac{p^4}{\sqrt{1+(p/mc)^2}}$](Ideal_gas-img171.png) |
(41) |
で得られるであろう。これ積分すると
となる。この積分を計算するのはなかなか酷である。
今、賢い方法として
であるから
と計算される。
以上より
は
![$\displaystyle P=\frac{\pi m^4 c^5}{3h^3}f(x),\qquad x=\frac{p_f}{mc}=\frac{h}{mc}\left(\frac{3}{8\pi} n_0\right)^{1/3}$](Ideal_gas-img179.png) |
(42) |
となることが分かる。
ここで
の
、
での展開を考える。
ここでは次の一般弐項展開
を許に、展開を考えることとする。
の極限では
のまわりで展開することで
であるから
![$\displaystyle f(x) \approx \frac{8}{5}x^5 -\frac{4}{7}x^7+\cdots$](Ideal_gas-img187.png) |
(43) |
となる。
の極限では
で展開することで
であるから
![$\displaystyle f(x) \approx 2x^4 -2x^2+\cdots$](Ideal_gas-img191.png) |
(44) |
となる。
従って、質量密度を
とすれば
となることが分かる。
fat-cat
平成16年11月28日